Chuyên đề: Bất đẳng thức – Toán cực trị đại số

Phần 1 : các kiến thức cần lưu ý

1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng
Phần 2:một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
1-Phương pháp dùng định nghĩa
2- Phương pháp dùng biến đổi tương đương
3- Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc
4- Phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu
5- Phương pháp dùng tính chất tỉ số
6- Phương pháp làm trội
7- Phương pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác
8- Phương pháp đổi biến số
9- Phương pháp dùng tam thức bậc hai
10- Phương pháp quy nạp
11- Phương pháp phản chứng
Phần 3 :các bài tập nâng cao
PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
2-Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và bất phương trình
3-Dùng bất đẳng thức giải phương trình nghiệm nguyên


Phần I : các kiến thức cần lưu ý
1-Đinhnghĩa


2-tính chất
+ A>B
+ A>B và B >C
+ A>B A+C >B + C
+ A>B và C > D A+C > B + D
+ A>B và C > 0 A.C > B.C
+ A>B và C < 0 A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C + A > B > 0 A> B
+ A > B A> Bvới n lẻ
+ > A> Bvới n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1 AA
+ m > n > 0 và 0 +A < B và A.B > 0

3-một số hằng bất đẳng thức
+ A0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An 0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ với (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ < A =
+ ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)


Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A - B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M0 với( M

Ví dụ 1 ( x, y, z chứng minh rằng :
a) x+ y+ zxy+ yz + zx
b) x+ y+ z2xy – 2xz + 2yz
c) x+ y+ z3 2 (x + y + z)

Giải:
a) Ta xét hiệu
x+ y+ zxy – yz - zx
2 .( x+ y+ zxy – yz – zx)
úng với mọi x;y;z
Vì (x-y)2 0 với(x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 với(x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với( z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy